Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej (fx = ax2 + bx + c) i w postaci kanonicznej (f(x) = a(x – p)2 + q) mogą być zilustrowane na podstawie wykresów tych funkcji. Współrzędne wierzchołka paraboli, czyli punktu (p,q), stanowią podstawowe informacje umożliwiające porównanie tych postaci funkcji. Funkcja kwadratowa jest określona wzorem fx=ax2+bx+c, gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym a jest różne od zera. Postać ogólna tej funkcji umożliwia łatwe określenie współczynników a, b i c. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej f(x) = a(x – p)2 + q, gdzie a, p oraz q to liczby rzeczywiste, a ≠ 0, umożliwia jednoznaczne określenie wierzchołka paraboli.
Twierdzenie mówi, że każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej fx = ax2 + bx + c lub w równoważnej postaci kanonicznej f(x) = a(x – p)2 + q, gdzie p = -b/2a i q = -Δ/4a, a Δ = b2 – 4ac jest wyróżnikiem funkcji kwadratowej. Dowód tego twierdzenia można przedstawić poprzez rozwinięcie wyrażenia (x – p)2 w postaci kanonicznej.
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Wstęp
Funkcja kwadratowa to funkcja postaci fx=ax2+bx+c, gdzie a, b i c są pewnymi liczbami. W tej sekcji omówimy jak przekształcić wzór funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do postaci kanonicznej oraz przedstawimy przykłady z rozwiązaniami.
Przekształcenie wzoru do postaci kanonicznej
Aby przekształcić wzór funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej, musimy zastosować wzory skróconego mnożenia i skorzystać z własności równości współczynników przy tych samych potęgach zmiennej x. Otrzymujemy wtedy wzór postaci fx=a(x-p)2+q, gdzie p i q są pewnymi liczbami.
Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia to wzory, które pozwalają uprościć wyrażenie postaci (a+b)2 lub (a-b)2 do postaci a2+2ab+b2 lub a2-2ab+b2.
Własność równości współczynników
Własność równości współczynników mówi, że aby dla każdego x zachodziła równość ax2+bx+c=dx2+ex+f, muszą być równe współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x. Innymi słowy, a=d, b=e i c=f.
Przykłady
Przykład 1
Chcemy zapisać funkcję fx=x2-14x+25 w postaci kanonicznej.
Odczytujemy: a=1, b=-14, c=25. Stąd p=-b/2a=7, Δ=b2-4ac=96. Zatem q=-Δ/4a=-24.
Postacią kanoniczną tej funkcji jest fx=(x-7)2-24.
Możemy również przekształcić wzór funkcji f jak poniżej:
fx=x2-14x+25=x2-14x+49-49+25=(x-7)2-24.
Przykład 2
Chcemy zapisać funkcję gx=2x2+8x+11 w postaci kanonicznej.
Odczytujemy: a=2, b=8, c=11. Stąd p=-b/2a=-2, Δ=b2-4ac=-24. Zatem q=-Δ/4a=3.
Postaci
Obliczanie wartości funkcji kwadratowej
Postać kanoniczna
Jeśli dana jest funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej, czyli: q = a(x – p)^2 + q, to można łatwo odczytać wartość współczynnika a, współrzędne wierzchołka paraboli oraz oś symetrii.
Przykład:
Dla funkcji q = -234(x + 3)^2 – 2312, możemy odczytać, że a = -234 oraz wierzchołek paraboli ma współrzędne (-3, -2312). Oś symetrii to prosta przechodząca przez wierzchołek paraboli i prostopadła do osi OX.
Postać ogólna
Jeśli funkcja kwadratowa jest podana w postaci ogólnej, czyli: q = ax^2 + bx + c, to należy najpierw obliczyć współrzynniki a, b i c. Następnie można przekształcić funkcję do postaci kanonicznej, aby łatwiej odczytać wartości potrzebne do narysowania wykresu.
Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej
Po odczytaniu wartości współczynnika a i współrzędnych wierzchołka paraboli, można narysować wykres funkcji. W celu uzyskania pełnego obrazu funkcji, należy wyznaczyć wartości najmniejszą i największą funkcji, zbiór wartości oraz monotoniczność funkcji. Wykres funkcji kwadratowej rysowany jest w układzie współrzędnych.
Przykład 2
Poniższa animacja prezentuje wzory różnych funkcji kwadratowych. W kolejnych krokach należy odczytać ze wzoru wartość współczynnika a, obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli, podać wartość najmniejszą i największą funkcji, zbiór wartości oraz narysować oś symetrii, podać monotoniczność funkcji i narysować jej wykres.
Mamy nadzieję, że niniejszy artykuł dostarczy Państwu potrzebnych informacji na temat zależności między wartościami współczynników funkcji kwadratowej.
