Aby zbudować pudełko w kształcie ostrosłupa, należy najpierw przygotować jego siatkę. Siatka pozwala łatwo obliczyć, ile cm2 kartonu potrzeba, aby wykonać pudełko.
Rozcinając kartonowy model ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i rozprostowując go na płaszczyźnie, tworzymy jego siatkę. Można również zobaczyć, jak dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa w animacji 3D na portalu figazmakiem.edu.pl.
Ostrosłup – opis bryły
Ostrosłup to bryła geometryczna, która składa się z podstawy w kształcie wielokąta (np. trójkąta, czworokąta) oraz ścian bocznych, które łączą wierzchołek bryły z punktami na krawędziach podstawy. Objętość ostrosłupa można obliczyć jako iloczyn pola podstawy i wysokości, a pole powierzchni bocznej jako sumę pól trapezów lub prostokątów, z których każdy jest równoległy do jednej ze ścian bocznych i ma długość równej długości krawędzi podstawy.
Obliczanie pola powierzchni ostrosłupa
Czym jest ostrosłup?
Definicja: Ostrosłup to bryła, która składa się z podstawy w kształcie wielokąta i ścian bocznych, które spotykają się w jednym punkcie, nazywanym wierzchołkiem ostrosłupa.
Jak obliczyć pole powierzchni ostrosłupa?
Krok 1: Obliczamy pole powierzchni podstawy ostrosłupa, np. dla ostrosłupa o podstawie trójkąta: Pp = 1/2 * a * b, gdzie a i b to długości boków trójkąta.
Krok 2: Obliczamy sumę długości wszystkich krawędzi bocznych, co daje nam obwód podstawy: O = a + b + c + … + n.
Krok 3: Obliczamy wysokość ściany bocznej, np. dla ostrosłupa o podstawie trójkąta: h = √(c^2 – (a/2)^2 – (b/2)^2), gdzie c to wysokość trójkąta.
Krok 4: Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa: Pb = O * h/2.
Krok 5: Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: Pc = Pp + Pb.
Podsumowanie: Dzięki powyższym krokom jesteśmy w stanie obliczyć pole powierzchni ostrosłupa.
Ważne informacje o policzeniu pola powierzchni całkowitej ostrosłupa
Zgodnie z definicją, pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola podstawy i sumą pół trójkątów, będących ścianami bocznymi. Oznacza się to następująco:
Pc =Pp + Pb
Gdzie:
- Pc – pole powierzchni całkowitej
- Pp – pole podstawy
- Pb – pole powierzchni bocznej
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, należy policzyć osobno pole podstawy i pole powierzchni bocznej. W przypadku ostrosłupa o podstawie sześciokąta foremnego o krawędziach równych 6 cm, możemy to zrobić w następujący sposób:
Obliczenie pola podstawy
Pierwszym krokiem jest obliczenie pola sześciokąta foremnego o krawędziach równych 6 cm. Możemy to zrobić jako sumę pól sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku długości 6 cm. Oznaczmy pole podstawy jako Pp:
Pp = 6 x 3/4 x 6^2 = 54√3 cm²
Obliczenie pola powierzchni bocznej
Każda ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem o podstawie długości 6 cm i wysokości cm. Aby obliczyć pole powierzchni bocznej, czyli sumę pól sześciu przystających trójkątów, oznaczmy pole powierzchni bocznej jako Pb:
Pb = 6 x 1/2 x 6 x 10 = 180 cm²
Obliczenie pola powierzchni całkowitej
Ostatecznie, aby obliczyć pole powierzchni całkowitej, wystarczy dodać pole podstawy i pole powierzchni bocznej. Oznaczmy pole powierzchni całkowitej jako Pc:
Pc = Pp + Pb = 54√3 + 180 ≈ 333,68 cm²
Zatem, pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o podstawie sześciokąta foremnego o krawędziach równych 6 cm, wynosi około 333,68 cm².
Geometria przestrzenna – ostrosłupy
Budowa ostrosłupa
Ostrosłup to bryła, która ma kształt ostrosłupa o podstawie:
- kwadratu,
- trapezu,
- trójkąta,
- pięciokąta,
- sześciokąta.
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat, a wysokością jest jedna z krawędzi bocznych. Każda ściana boczna ostrosłupa jest trójkątem o:
- bokach równobocznych,
- bokach równoramiennych,
- kątach rozwartokątnych,
- kątach prostokątnych.
Pole powierzchni i objętość ostrosłupa
Czworościan foremny
Pole powierzchni czworościanu foremnego można obliczyć znając sumę długości krawędzi, która wynosi:
- 24,
- 48,
- 63.
Jeśli znamy pole powierzchni, to możemy obliczyć objętość czworościanu foremnego, który wynosi:
- 8,9,
- 17,8,
- 23,5.
Ostrosłup prawidłowy
Wysokość ostrosłupa prawidłowego można obliczyć korzystając z trójkąta prostokątnego. Jeśli znamy długość ściany bocznej ostrosłupa, to możemy obliczyć pole powierzchni całkowitej, które wynosi:
- 48 cm2,
- 80 cm2,
- 96+243 cm2.
Zadania
Czworościan foremny
Aby obliczyć pole powierzchni jednej ściany bocznej czworokątnego ostrosłupa prawidłowego, podstawą którego jest kwadrat o boku 3 dm, należy skorzystać ze wzoru: pole powierzchni całkowitej – pole powierzchni podstawy, a następnie podzielić wynik przez liczbę ścian bocznych. Wynik wynosi:
- 12,5 dm2,
- 7,5 dm2,
- 6 dm2,
- 5 dm2.
Rozwiązywanie zadań dotyczących powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
Ćwiczenie 7
Zadanie: Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego podstawą jest kwadrat o boku 3 dm, a pole powierzchni jednej ze ścian bocznych wynosi 12,5 dm2.
Rozwiązanie: Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi sumę pól podstawy i wszystkich ścian bocznych. Wiemy, że pole powierzchni całkowitej wynosi 39 dm2, a pole powierzchni jednej ze ścian bocznych wynosi 12,5 dm2.
Aby obliczyć pole pozostałych ścian bocznych, odejmujemy od sumy pól wszystkich ścian bocznych pole jednej ze ścian bocznych:
39 dm2 – 12,5 dm2 = 26,5 dm2
Stąd wynika, że pole powierzchni jednej ściany bocznej wynosi:
26,5 dm2 / 3 = 8,83 dm2
Z kolei wiemy, że jedna ze ścian ma pole równe 7,5 dm2.
Ćwiczenie 8
Zadanie: Oblicz wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy ma długość 0,5.
Rozwiązanie: Wiemy, że pole powierzchni jednej ze ścian bocznych wynosi 1, a bok podstawy ma długość 0,5. Wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego to:
Pb = (1/2) * p * h
gdzie p oznacza obwód podstawy, a h wysokość ściany bocznej.
W tym przypadku, obwód podstawy to 2 * 0,5 + 3 * 0,5 = 2,5, więc:
1 = (1/2) * 2,5 * h
Stąd wynika, że wysokość ściany bocznej wynosi:
h = 4
Ćwiczenie 9
Zadanie: Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego pole powierzchni bocznej wynosi 160 cm2, a wysokość ściany b
Pola powierzchni figur przestrzennych
Czworościan foremny
Czworościan foremny ma krawędź o długości 4 cm. Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej, najpierw należy obliczyć pole jednego trójkąta równobocznego o boku długości 4 cm, czyli:
Pole trójkąta równobocznego = (sqrt(3)/4) * a^2 = (sqrt(3)/4) * 4^2 = 4sqrt(3) cm^2
Następnie, aby obliczyć pole powierzchni całkowitej, należy pomnożyć pole jednego trójkąta równobocznego przez liczbę ścian czworościanu, czyli:
Pole powierzchni całkowitej = 4 * pole trójkąta równobocznego = 4 * 4sqrt(3) = 16sqrt(3) cm^2
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Zadanie 13
Podstawą ostrosłupa jest czworokąt foremny o boku długości 83. Kąt między wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej ma miarę 60°. Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej, należy najpierw obliczyć wysokość ostrosłupa oraz wysokość ściany bocznej:
h = 2 * H * cos(60°) = 2 * H * 1/2 = H
Stąd, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego z przeciwprostokątną o długości h i przyprostokątną H, otrzymujemy równanie:
H^2 + (83/2)^2 = h^2
Po podstawieniu wartości h i uporządkowaniu wyrazów, otrzymujemy:
H = sqrt((4 * 83^2)/(4 + 3sqrt(3))) = 8sqrt(3)
Następnie, aby obliczyć pole powierzchni całkowitej, należy pomnożyć pole podstawy przez liczbę ścian ostrosłupa oraz dodać pole powierzchni bocznej. Pole podstawy, czyli pola rombu, można obliczyć jako:
Pole rombu = (83^2 * sin(60°)) / 2 = (83^2 * sqrt(3)) / 4
A pole powierzchni bocznej można obliczyć jako:
Zatem dłuższa krawędź boczna ma długość p = 243 cm. Odcinek CS to połowa odcinka CE, czyli ma długość 12 cm. Jest on wysokością w trójkącie równobocznym ABC, skąd wyznaczymy długość AB krótszej przekątnej:
12 = q32
Stąd
q = 243 = 2433 = 83 cm
Zatem pole podstawy jest równe
83⋅243=576 cm2
Zadanie 2
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego, czworokątnego ma długość 8 cm. Dwie przeciwległe krawędzie boczne ostrosłupa oraz przekątna podstawy tworzą trójkąt równoramienny. Ramię tego trójkąta ma długość 6 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
Rozwiązanie:
Przekątna podstawy ostrosłupa jest równa 82 cm. Wysokość ściany bocznej wyznaczymy z odpowiedniego trójkąta prostokątnego:
h2 + 42 = 62
Stąd
h = 25 cm
Pole powierzchni całkowitej
82 + 4⋅8⋅252 = 64 + 325 cm2
Obliczanie pola powierzchni bocznej piramidy
Wyznaczanie wysokości ściany bocznej
Aby obliczyć pole powierzchni bocznej piramidy, należy najpierw wyznaczyć wysokość ściany bocznej. Można to zrobić za pomocą trójkąta prostokątnego, którego bokami są wysokość piramidy, połowa długości krawędzi podstawy oraz połowa długości przekątnej podstawy.
Zgodnie z danymi, krawędź podstawy piramidy ma długość 230 m, a wysokość wynosi 146 m. Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego, otrzymujemy:
h^2 = 146^2 + (230/2)^2
h ≈ 195,85 ≈ 196(m)
Obliczanie pola powierzchni bocznej
Po wyznaczeniu wysokości ściany bocznej możemy obliczyć pole powierzchni bocznej piramidy. Pole to można obliczyć jako sumę pól czterech trapezów prostokątnych o podstawach równoległych do podstawy piramidy.
W tym przypadku, każdy z trapezów ma długość podstawy równej 230 m (długość krawędzi podstawy) i wysokość równą wysokości ściany bocznej, czyli 196 m. Ostatecznie, pole powierzchni bocznej wynosi:
P ≈ 4 ⋅ 1/2 ⋅ 230 ⋅ 196 ≈ 90160 (m^2)
