Zacznijmy od prostopadłościanów. Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól jego wszystkich ścian, czyli sześciokątnych prostokątów. Objętość prostopadłościanu to iloczyn długości wszystkich jego trzech krawędzi.
Graniastosłupy proste to prostopadłościany, których wszystkie ściany boczne są jednakowe i równoległoboczne. Własności prostopadłościanu i sześcianu to m.in.:
- Każdy sześcian jest prostopadłościanem, ale nie każdy prostopadłościan jest sześcianem.
- Wszystkie kąty prostopadłościanu są prostymi kątami (90 stopni).
- Wszystkie ściany sześcianu są jednakowe i równe sobie.
- Sześcian ma 12 krawędzi i 8 wierzchołków.
- Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.
Poniższe animacje 3D przedstawiają sześciany i prostopadłościany w ruchu. Pierwsze trzy pokazują, jak z dwóch jednakowych prostopadłościanów i sześcianów można utworzyć dwie różne siatki. Ostatnie dwa pokazują, jak z dwóch różnych siatek można złożyć jednakowe prostopadłościany i sześciany.
Obliczanie pola powierzchni prostopadłościanu
Siatka prostopadłościanu
Sześcian zamienia się w kostkę do gry, która leży z innymi kostkami na stole. Animacja 3D pokazuje prostopadłościan, który rozkłada się na siatkę prostopadłościanu. Zaznaczone są pola poszczególnych ścian: P = a razy b, P = b razy c, P = a razy c. Zapis: P = 2a razy b + 2b razy c + 2a razy c.
Suma pól ścian prostopadłościanu
Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian. Siatka prostopadłościanu jest przedstawiona na rysunku, a zaznaczone pola poszczególnych ścian to P indeks dolny jeden, P indeks dolny dwa, P indeks dolny trzy, P indeks dolny cztery, P indeks dolny pięć, P indeks dolny sześć. W prostopadłościanie są trzy pary ścian o tych samych wymiarach, czyli także o tych samych polach: P1 = P3, P2 = P4, P5 = P6.
Wzory na obliczanie pola powierzchni prostopadłościanu
Pole powierzchni prostopadłościanu możemy także obliczyć, korzystając ze wzorów: P = 2∙a∙b + a ∙c + b ∙c lub P = 2∙a∙b + 2∙a ∙c + 2∙b ∙c, gdzie: a, b i c to wymiary prostopadłościanu.
Zadania interaktywne
Ćwiczenie 1
Zadanie interaktywne polega na obliczeniu pola powierzchni prostopadłościanu.
Komunikat po zakończeniu zadania:
Już wiesz jak obliczyć pole powierzchni prostopadłościanu!
Ćwiczenie 2
Zadanie interaktywne polega na przeciągnięciu i upuszczeniu pól powierzchni prostopadłościanów o podanych wymiarach.
Zadanie:
Przeciągnij i upuść pola powierzchni prostopadłościanów o podanych wymiarach: 195,2 m2, 206 m2, 38 cm2, 1 952 dm2, 0,0038 dm2, 15 200 cm2, 15,2 m2, 206 000 cm2.
Podane wymiary prostopadłościanów:
a) 1 cm × 3 cm
Ćwiczenie 5: Zadanie interaktywne
W zadaniu interaktywnym należy obliczyć pole powierzchni sześcianu, jeśli suma długości wszystkich krawędzi wynosi:
- 60 cm
- 84 cm
- 96 cm
Odpowiedzi to: 150 cm2, 294 cm2, 384 cm2.
Ćwiczenie 6: Obliczanie pola powierzchni sześcianu
W tym ćwiczeniu należy obliczyć pole powierzchni sześcianu, jeśli znamy sumę długości wszystkich krawędzi. Dane są trzy wartości:
- 1,5 cm2
- 8,64 cm2
- 2,94 cm2
Odpowiedzi to: 6 cm, 14,4 cm, 8,4 cm.
Ćwiczenie 10
Jakie wymiary i jakie pole powierzchni może mieć prostopadłościan, którego siatkę można wykonać wykorzystując cały arkusz papieru przedstawiony na rysunku?
Rysunek przedstawia dwa prostokątne arkusze papieru o bokach długości 6 i 4 oraz 3 i 18. Arkusz o bokach 6 i 4 można podzielić na sześć jednakowych kwadratów o boku 2, a arkusz o bokach 3 i 18 na sześć jednakowych kwadratów o boku 3. Siatkę prostopadłościanu można wykonać przez wycinanie z arkusza papieru pojedynczych ścian, a następnie ich połączenie. Wymiary prostopadłościanu zależą od wymiarów wycinanych ścian.
Rozwiązanie
Wymiary siatki na arkuszu papieru o bokach 6 i 4 pozwalają na wycięcie prostokątnej podstawy o wymiarach 2×4 oraz trzech prostokątnych ścian bocznych o wymiarach 2×2. Z drugiego arkusza papieru o bokach 3 i 18 można wyciąć dwie kwadratowe ściany boczne o wymiarach 3×3 oraz jedną prostokątną ścianę tylnej o wymiarach 3×2. Dlatego wymiary prostopadłościanu wynoszą 2x2x4 lub 1x3x3, a jego pole powierzchni wynosi 24 lub 30.
Ćwiczenie 11
Jakie jest „zewnętrzne” pole powierzchni skrzynki na owoce o wymiarach zewnętrznych 50 cm (długość), 60 cm (szerokość) i 40 cm (wysokość)?
Rozwiązanie
Zewnętrzne pole powierzchni skrzynki na owoce to suma pól powierzchni jej ścian zewnętrznych. Skrzynka ma pięć ścian o powierzchni 50×40=2000 cm2 i jedną ścianę o powierzchni 60×40=2400 cm2. Łączne zewnętrzne pole powierzchni skrzynki wynosi 5*2000+2400=12400 cm2. Aby otrzymać wynik w decymetrach kwadratowych, należy podzielić wynik przez 100 (1 dm2 = 100 cm2), co daje 124 dm2.
